↓1.地球的形状、地平线。
↓2.钟表的刻度。
↓3.对地球周长的测量Ⅰ。
↓4.对地球周长的测量Ⅱ。
↓5.对地球周长的测量Ⅲ。
↓6.被切割的苹果、球体的最大圆和最小圆。
↓7.法国人都手拉着手、徒步旅行者、云朵越过高山飞翔。
↓8.地球上最高的山和一粒沙子、海洋与沾湿的毛笔、大气海洋与桃子上的细毛。
↓9.地球的球形外观不会因地表的高低不平而改变、关于地球的一些数据。
↓1.地球是一个巨大的球，它没有支撑点，自己漂浮在天空中。关于地球是球形的证明有很多种，我们用其中最简单的来论证。从高出地面一定距离的位置去看，我们会发现贴近远处田野的地方，有一道弧形的线，这就是地平线，它是我们视力可及范围的极限。在这条线上，平原与天空似乎连接在一起。在大海上，因为没有像丘陵、悬崖和山脉这些妨碍我们观察的不规则的障碍物，所以弧形地平线看起来非常明显。船只在海上前行，无论是航行几周还是几个月，航行者永远都处在一个圆里，他的视野总是受限制：沿着弧形的地平线，他看到的永远都是水天相接的景象。难道是由于我们视力上的局限，不能区分远处的物体，才会有地平线吗？——不是的，如果是这样的话，我们用望远镜来看就可以向前延伸地平线了。但事实不是这样，即使我们采用各种仪器来观察远处，也依然不能超越这个地平线。地平线是不可逾越的。无处不在的地面曲线，就是由地球上的这些显而易见的轮廓线，由地球上可见的和不可见的这些分割线构成的。我们之所以不能看到一定距离之外的物体，并不是因为我们的视力有限，而是因为球面是曲线的。由此，我们很自然地就会得出这样一个结论：如果我们所看到的地面总是圆的，那么地球本身整个就是一个球。
↓2.当我们知道了地球是球形的之后，一个重要的问题就出现在我们的脑海中。这个巨大球体上大圆的周长是多少？它环形一周是多少米？我只能告诉你们，地球的周长是4万千米。我希望你们最好能了解一下我们是通过何种巧妙的方法来测量地球的。测量物体长度，你们知道，只有一种方法，即用米尺来测量。但显然这种方法对于测量地球周长来说并不适用。想象一下，拿着米尺，越过荆棘密布的高山大洲，经过惊涛骇浪的大海表面，从地球的这一端到达那一端，这是非常荒谬的——人类的能力还不能完成这一疯狂的任务。那么，如何来测量呢？只能借助于几何学，对它来说，这样的困难不值一提。
如果让你们来测量一个钟表的钟面周长，毫无疑问你们都会这样来做：首先，用一根绳子绕钟面正好一圈，然后将绳子拉成一条直线，用米尺来测量它的长度，所得数值就是钟面周长。这是当前最直接也是最有效的方法，但对于测量巨大地地球来说并不适用。还有一种略为间接但更为简单的方法来测量钟面。所有钟表的钟面都分成十二等分，这与一天中的十二个时辰相对应。我们测量其中的一个部分，比如说指针从中午十二点到下午一点之间的距离。只要将我们所获得的数值乘以十二，所得到的不就是整个钟面的周长吗？我们可以采用一种类似的方法来获得地球的周长。我们不用测量地球整个表面的周长，只需要测量其中一部分就行，然后我们只要知道这一部分是整个地球周长的几分之一，这样问题就可以迎刃而解了。但是，地球的表面并不像钟表的钟面一样分成很多等分，因此，困难仍然存在。谁能告诉我们，我们测量所得的部分是整个地球周长的几分之一？还是只有几何学能解决这个问题。下面是第三点。
↓3.在一片宽阔平整的原野上，我们处于足够高的位置才能够有一片广阔的视野。观察点越高，我们的视野越广阔。比如说观察点是一座塔楼，在这个处于高处的观察点上，我们借助于望远镜，就能看到地平线上的任意一点，它是由视线与地球曲面相交而形成的。由此我们设定此点为C，如图18所示。我们通过最普通的测量方法，即用一把十米长的卷尺来测量塔楼底部和视线最远点之间的距离，即弧线BC的长度。我假设BC长度是5万米。你们肯定会怀疑，这样的测量并不是一项简单的操作。但是，只要有足够的时间和耐心，我们最终会完成这项工作。总之，地面弧线BC的长度是可知的。为了得到地球的周长，我们还缺少什么呢？我们还需要知道，这段弧线长是地球周长的几分之一。因为如果我们知道它是地球周长的千分之一，那么我们就可以说地球周长是5万米的一千倍。这与测量钟面的一个部分然后乘以12从而得到钟面的周长的方法是一样的。但是要想知道弧线长是地球周长的几分之一，我们就要知道该段弧线的度、分、秒。为了知道度与分，我们就要知道角COA的大小，这个角COA是由可见地平线的点C和塔楼顶点A到地球中心O的两条直线所构成的。角COA的两条边之间是地面弧线BC，这在某种程度上类似于一个测量弧的巨大经纬仪的一部分。
图18
↓4.这样，问题就转化为测量角COA的大小。为了测量角，需要将一双什么样的眼睛置于地球中心来进行观测呢？这是一双能够看见不可见的东西、能够测量不可测量的东西的眼睛，这是智慧之光、几何学之眼。实际上我们要注意到，在三角形ACO中，角C是直角，这是确定无疑的，虽然实际上并没有测量过。因为它是由直线OC和地球圆周的切线即视线AC构成的，而这条视线AC与地平线边缘的地面曲线相切。看了下面的注释你们就会明白。
图19
既然三角形AOC是直角三角形，角A是塔楼的顶端，角O是地球的中心，那么，这两个角的和是90度。这一点我们在前面的课程中已学到过。我们知道了其中的一个，就可以知道另外一个，这只要通过进行简单的减法计算就可以得到。于是我们来测量塔楼顶端的角的大小。从高处的观察点，我们将经纬仪可视镜的其中一个瞄向地平线的尽头、将另一个瞄向地球的中心。这里又似乎出现了不可能的事情，如何将瞄准镜瞄向地球的中心呢？地球中心这一深藏不露的、不可见的点，它位于我们脚下极深远处。其实，这是一件非常简单的事情。将任意重的一个物体，比如说一个铅球，悬挂在绳子的一端，用手抓着绳子的另一端，然后将球抛下。当球静止时，绳子悬挂铅球的一端所指向的就是地球的中心。实际上这仿佛就像悬挂的物体看到了地球的中心一样。换言之，这根绳子若能延长并穿过地球深处，则在理论上能正好到达地球的中心。
↓5.接下来，我们将经纬仪上的第二个瞄准镜瞄向系有铅球的绳子的方向，最终获得了角OAC的值，为89度33分。因此地球中心的角是27分。因为27分加上33分等于60分，即一度，一度加上前面的89度等于90度，即两角之和。
如果地球中心角是27分，那么它的两条边之间的地球弧BC也是27分。由此问题转化为：27分占整个圆周（21600分）的几分之一？答案是800分之一。因此长度为5万米的弧BC是整个地球周长的800分之一，因此地球周长是5万米的800倍，即4000万米。由此我们获得了地球周长。为了完成一个非凡出众的实验，科学只需要一段12千米左右的距离和一个角即可。倘若几何学拥有像灰姑娘和驴皮公主一样的魅力，那么我们就会有很多问题向它请教了！对于你们这些富有想象力的年轻人来说，这也许是可能的。但是我担心我有点滥用三角形了，同样的，在这个问题上，如果我只是让我自己明白了，而没有让你们明白，那么请你们谅解。
↓6.用刀将一个苹果切成片，那么我们就获得了几个圆形的苹果片。刀片离苹果的中心越近，那么苹果片就越大；离得越远，那么苹果片就越小。如果刀恰好经过苹果的中心，那么切下来的苹果圆周是最大的，这样，苹果就分成两个相等的部分。如果刀没有经过苹果中心，那么，切下来的苹果片就小一些，苹果也没有被分成两个相等的部分。由此我们在一个球的表面上画出足够多的圆，其中一些最大的圆会将球平分，而其他小的圆则不能将球平分。前者称为球面大圆，它们之间彼此相等。因为不管它们是如何画出来的，它们的半径与球的半径相等，并且都经过球的中心。后者称为小圆，它们的半径都小于球的半径。
球的周长总是根据球面大圆来测量的，这是显而易见的。如果你要测量一个橘子的周长，你不会去测量用刀切下的最小橘子片的大小，而是去测量经过橘子中心的最大的橘子片的大小，即球面大圆的大小。因此，地球的周长当然也要由地球球面大圆的周长来确定。根据我们在前面所论述的那样，地球大圆的周长是4000万米，即1万个4千米。大圆的半径等同于地球的半径，即略少于6400千米的样子。
↓7.由此，你们或许已经理解了这些巨大的数字，为了环抱一张圆形的桌子，我们需要三四个或五个人手拉着手才能做到。为了环抱地球，我们大约需要全法国人手拉着手才能做到。一个强健的旅行者，每天早上都走上40千米，他也需要大约三年的时间才能徒步绕地球一周，当然这要假设地球没有被海洋隔断。但谁的腿能够承受得了三年如一日的辛苦劳累呢？一天走40千米已经耗费了我们所有的体力，第二天我们又怎么可能重新上路呢？那么，我们试试求助于那些不知疲倦的旅行者，它们就是云。云朵毫不费力地从地球的一个地方到达另一个地方，它们轻而易举地穿过平原、高山和大海。云在高空中飞速前进，假设风总是用同样的力量将它吹向同一个方向，那么，它绕地球一周需要多长时间呢？——大约需要六周。因为即使强风、甚至是暴风，云每小时经过的路程也绝不可能多于40千米。因为它绕行地球表面只需要六周。由此可见，它的速度是非常之快的，以致它在地面上的影子会飞速地掠过重重山脉。
↓8.我们再来做一些其他的比较。假设我们用一个两米高的大球来代表地球，然后根据一定的比例在球面上标出地球上的一些主要山脉。地球上最高的山峰是高里三卡（Gaurisankar）山峰，它是喜马拉雅山脉的一部分。喜马拉雅山脉处于亚洲的中心，它的最高峰达8840米，连云彩都极少能从峰顶经过。从上面俯视，视野十分宽阔，广阔的山脉尽收眼底。为了在代表地球的这个大球上面标出这座山峰与这个山脉，我们分别用了一个1毫米大小的沙粒和三分之一毫米大小的凸起物。欧洲最高的山峰是勃朗峰，它的高度是4810米，我们用0.5毫米大小的沙粒来指代。举例到此为止。对我们来说，山峰是高大的，它们都雄伟壮观。但是对于地球而言，这些大山只不过是沧海一粟。
深远辽阔的海洋，它对于地球而言，又是怎样的呢？——海洋几乎占了整个地球表面的四分之三，它的平均深度是6至7千米。假设海底是空的，那么需要一千条像罗纳河——法国最长的河流——这样的河流，那么多的河一直不停地流上两万年，里面的水才能将海洋填平。但对于地球来说，再多的海水，也是微不足道的。在两米高的球上，我们用一个一毫米的水印来代表海洋，即用浸水的毛笔在大球的表面上划一下，留下一个湿印来代表海水。
另外还有一种其他类型的海洋，这就是大气海洋。当然它还要更为广阔，它环绕了整个地球，高出地平面60千米左右。我们在球上用一个一指宽，即一厘米大小的充气物来代表大气。举个例子，在桃子的四周是都有大气环绕着的，通过观察桃子上那些细微得几乎不可见、使桃子看上去毛茸茸的细毛，我们就可以知道大气是大量存在的。
↓9.现在你们已经明白了，不管地球上有多少高山和丘陵，它仍然是圆的；就像橘皮表面的凹凸不平并不会改变橘子的曲线形状一样，地球也不会因为这些高低不平的山陵而改变自己的曲线形状，而且比起橘子来，地球受到的影响更小。
为了做个总结，下面我们补充一下与地球体积相关的一些数值。
地球周长=4万千米
地球半径=6366千米
地球表面积=509.95亿公顷
地球体积=10828.41亿立方千米
后面三个数字是根据几何学原理从第一个数字推算出来的，关于这一过程就不在此演示了。