从很多方面看，数学都是最精确、最复杂的一门科学——至少，作为一位数学家，我是这样认为的。对数学的发展的描述，使我既局促不安，又特别高兴，因为数学历来都是人类无穷思索的一部分：在人类知识的上升历程中，数学是通向神奇而又理智的思维的阶梯。不过，任何有关数学的描述，似乎都应包括以下这些概念：论证的逻辑性概念，关于自然界（特别是关于空间）确凿规律的经验性概念，各种运算概念的形成，以及数学从对自然的静态描述到动态描述的发展。这些便是本章的主题。
即便是非常原始的民族也有某种数字体系；他们也许不会数到四以上，但他们知道，任何东西中的两个加上同一种东西的另外两个，不是有时而是永远等于四。从这一基本点出发，许多文化形态都建立了自己的数字体系，通常是一种规则大致相近的书面语言。例如。
尽管巴比伦人、玛雅人，印度人生活的时间和空间相去甚远，但他们却创造了基本相同的书写大数字的方法，即把大数字写成我们今天使用的位数序列。
因此，在历史上，没有哪个地点和哪个时刻，可以让我站在那里说：“算术开始于此时此地。”在每一种文化中，人们从学会互相交谈的时候起，便开始计数了。算术和语言一样，始于传说时代。可是，我理解的用数字进行推论的数学则是另一回事。正是为了在传说与历史的交接点上寻求数学的起源，我才乘船来到萨摩斯岛（samos）。
传说时代，萨摩斯岛是希腊人祭祀天后赫拉（Hera，the Queenof Heaven）——即宙斯（zeus）的合法（但爱妒忌）的妻子的一个中心。赫拉的神庙，那赫拉伦庙的遗迹可以追溯到公元前6世纪。在大约公元前580年时，希腊数学的第一位天才和奠基人毕达哥拉斯出生在萨摩斯岛上。在他生活的年代，萨摩斯岛落入了僭主波利克拉特斯（Polycrates）手中。
据传说，毕达哥拉斯在逃离萨摩斯之前，曾在岛上山中一个白石岩洞里传道授业，这个岩洞至今仍是那些相信这一传说的人们参拜的地方。
萨摩斯是一个神奇迷人的岛屿。大海的涛声，树林的低语，音乐的奏鸣，随处可闻。虽然别的希腊岛屿也可作为莎士比亚名剧《暴风雨》（The Tempest）的外景，但在我看来，萨摩斯才是普洛斯彼罗（Prospero）住过的那种岛屿，正是在这样的海岸上，这位学者变成了魔法师。毕达哥拉斯对他的门徒来说，大概也可算是一位魔法师吧，因为他教导他们，自然界是受数字支配的。他说，大自然是和谐的，在她的千变万化中有一种统一性，大自然也有自己的语言：数便是大自然的语言。
毕达哥拉斯发现，在音乐的和声和数学之间，有着一种基本的联系。有关他这一发现的故事，正像民间传说一样，是经过窜改后留传下来的。但他的发现却是千真万确的。一根绷紧的琴弦在整个儿震颤时产生出一个基音。把琴弦精确地划分为几等份，就会产生与这个基音和谐一致的音：可以把弦的长度准确地分为两等份、三等份、四等份，如此等等，如果琴弦的静止点，即所谓波节（node），没有落在等分点上，奏出的音就会走调。当我们在琴弦上移动波节时，如果移动到确定的等分点上，我们就会听到和谐悦耳的音调。拨一拨或拉一拉空弦：这就是基音。将波节移至弦的中心点：这就是高出基音八度的音。将波节移至弦的1/3处：这就是高出基音的第五度音。将波节移至1/4处：这就是高出基音的第四度音。如果将波节移至琴弦的1/5处（毕达哥拉斯没有做到），这就是大调第三度音。
毕达哥拉斯发现，悦耳动听——悦西方人之耳——的和声，与用整数对琴弦的划分相对应。对毕达哥拉斯学派来说，这一发现有某种神奇的力量。自然与数之间的这种和谐一致竟是如此具有说服力，以致他们完全相信，不仅自然界的各种声音，就连自然界所特有的各种维和度，都肯定是一些能表现这种和谐的简单数，例如、毕达哥拉斯本人或他的追随者们相信，把各个天体与各种音程联系起来，就可以计算出这些天体的轨道（希腊人把这些天体描绘为在水晶般透明的天空中绕地球运动）。他们感到，自然界的一切规则都是和谐的；在他们看来，天体的运动，就是天体的和声。
这些思想使毕达哥拉斯享有一位哲学先知的地位，简直可说是一位宗教领袖，他的信徒们组成了一个秘密的、也许是革命性的派别。很可能，毕达哥拉斯后来的信徒中有很多人是奴隶，他们相信灵魂转生，这大概是他们希望死后能过上更为幸福的生活的一种表现方式吧。
我一直在谈论数字的语言——算术，但我的最后一个例子却是几何形状的天体。话题的改变并不是偶然的。展现在我们眼前的自然界形态万千：一道波纹，一个晶体，人的血肉之躯，而正是我们人类不得不去领悟和找出这中间的数的关系。毕达哥拉斯是将几何学与算术相结合的先驱，这刚好也是我所选择的一个数学分支，因此看一看毕达哥拉斯在这方面做了些什么，倒是很合适的。
毕达哥拉斯在证明了音响世界是由精确的数支配的之后，又继续证明，视觉世界的情形也无不如此。这是一个非凡的成就。我看看自己的周围；我的确是在这里，在希腊神奇如画的风景中，在这蛮荒的大自然的万千形态中，在俄耳甫斯小山谷和大海之滨。在这美丽动人的浑沌中，哪里有那简单的数字结构呢？
这个问题使我们不得不回顾人类关于自然法则的认识中那些最为原始而永恒的观念。很清楚，要很好地回答这个问题，我们必须从人类的普遍经验开始。人类的视觉世界建立在两种经验之上：重力线是垂直的，水平线与它成直角相交。而正是二者的相交，或我们所看到的这些十字标线确定了直角的性质；于是，如果我把这个凭经验认定的直角（向下、向两侧）转动四次，我就又回到了原先的垂直线与水平线相交的位置。直角的定义就是由这样的四次转动决定的，而且由此区别干其它任何一种角。
在视觉世界中，在我们的眼睛所看到的垂直平面图上，如果一个角转动四次后又回到原来的位置这个角就可以定义为直角。在经验的水平世界里，即我们在其间活动的世界里，这一定义同样成立。试设想一个这样的世界，一个有平坦的大地的世界。还有地图。以及罗盘上的罗经点。从这里，我向正南方的萨摩斯与小亚细亚之间的海峡望去。我用一块三角形瓦块作指针，让它指向正南方。（我把这个指针做成直角三角形，是因为我要用它作四次直角边靠直角边的转动。）如果我把这个三角形瓦块转动一个90度，它就指向正西方。再转动一个90度，它就指向正北方。转动第三个90度，它就指向正东方。最后，转动第四个90度，它就又指向正南方了，即指向它开初所指的小亚细亚方向。
不仅我们所体验的自然界，而且连同我们所建造的这个世界，都是建立在这样一种关系的基础之上的。自从巴比伦人建造空中花园（the Hanging Garden）以来，也许更早一些，即从埃及人建造金字塔以来就是如此。从某种实践的意义上说，这些文化形态已经知道，有一种工匠使用的三角板，就是按照这种数的关系来构成直角的。早在公元前2000年，巴比伦人就知道很多、也许是几百个表示这种数的关系的公式。印度人和埃及人也知道一些这类公式。埃及人似乎总是使用一种其三角形边长比例为3：4：5的三角板。但是,，直到公元前550年前后，才由毕达哥拉斯把这一知识从经验数据的范畴上升到我们今天所说的论证的范畴。他提出了这样一个问题：“直角可以在转动四次后又回到原来的位置；那么，构成工匠们用的三角板各边之间的数的关系义是怎样从这一事实中得出来的呢？”
我们认为，他的论证是这样的（与教科书中讲的论证方法不同），一个正方形的四个角，就是构成罗盘的十字交叉线的四个三角形的四个主方位——东南西北。我移动这四个直角三角形，使每个三角形的斜边与相邻角的主方位会合。这样，我就用四个直角三角形的斜边构成了一个正方形。因此我们还应该知道哪些是这四个直角三角形所占据的面积，哪些不是，我再用一小块瓦把中间未被三角板盖住的小正方形填上。（我使用瓦块，是因为在罗马，在东方，瓦的许多形状都是从这种数学关系与人类对自然的思考的完美结含中产生出来的）。
现在，我们得到一个由四个直角三角形斜边组成的正方形。我们完全可以通过计算把这个正方形与由直角边组成的两个正方形之间的关系表示出来。但是，这样就会看不到这一图形的自然结构及其深刻含意。我们不需要任何计算。一种孩子们和数学家们常玩的小游戏将比计算揭示更多的道理。把两个三角形的位置重新交换一下。移动指向南方的三角形，使它的斜边与指向北方的三角形的斜边相邻。然后移动指向东方的三角形，使它的斜边与捐向西方的三角形的斜边相邻。
现在，我们得到了一个面积不变、形状像“匚”的多边形，（当然面积不变，因为这个图形是由同样几个直角三角形构成的），我们一眼就可以看出，这个多边形的边，就是直角三角形的直角边。让我把这个“匸形图案的构成表示出来：从上到下画一条线，把这个多边形的上部和底部分开。很明显，底部是一个由直角三角形较短的那条直角边构成的正方形；而“匸”多边形的上部也是一个正方形，它的边是较长的那条直角边。
毕达哥拉斯就是这样论证了这一普遍定理：不仅适用于埃及的各边比例为3：4：5的三角形，或任何巴比伦人的三角形，而且也适用于任何一个直角三角形。他还证明了，只要是直角三角形，以斜边为边长的正方形面积等于以另外两条边构成的正方形面积之和。例如，边长分别为3：4：5的三个边可以构成一个直角三角形，因为52＝5x5=25=16+9＝4X4十3X3=42十32巴比伦人发现的三角形各边长度的比例关系也是如此，无论是简单如8：15：17，或是大得惊人的3367：3356：4825，其比例关系不变。毫无疑问，他们当时已相当精通算术。
迄今为止，毕达哥拉斯的这条定理在整个数学领域中仍然是最重要的一条定理。这样说似乎有些大胆而离奇，但却并不过份；因为毕达哥拉斯所创建的理论是对我们在其中活动的空间的一种基本概括，也是第一次用数的关系来解释空间。一定的适当的数描述了那制约宇宙万物的确切规律。事实上，已经有人提议把构成直角三角形的数的关系作为发往其它星系的行星的信息，以试探那里是否也有智慧生物存在。
重要的一点是，按照我的论证方式，毕达哥拉斯的这条定理还阐明了平面空间的对称关系；直角就是把平面分成四等份的对称元。如果平面空间还有另外一种不同的对称关系，这条定理就不能成立，而对于特殊三角形的各边的另外一种关系来说，还是成立的。即使空间（像空气一样）是看不见的，但它也和物质一样，是自然界的重要组成部分，这是几何学研究的问题。对称不仅涉及一种描述方法的精巧；如同毕达哥拉斯的具它思想一样，还深入到了自然界的和谐性。
毕达哥拉斯在论证了这条伟大定理之后，他向缪斯女神（theMuses）献祭了100头公牛，来感谢女神们给他的灵感与启示。这是一种自豪与谦卑合二为一的举动，正如当数字关系相互吻合并且表明“这是自然结构的一部分，是解开自然结构之谜的一把钥匙”时，即使到了今天，每位科学家也都会有同样的感受。
毕达哥拉斯是一位哲学家，在他的信徒们眼中，他又差不多是一位宗教人物。事实上，他颇受亚洲文化的影响，这种影响贯穿在整个希腊文化之中，却又往往被我们忽略。人们总喜欢把希腊看作是西方的一部分；但是，古代希腊的边缘地区，萨摩斯岛，距离小亚细亚海岸仅有一英里。许多对古希腊有深刻影响的思想，最初就是从这里传入的，而令人始料不及的是，这些思想在若干世纪之后，在传入欧洲以前，又传回亚洲。
知识的传播令人惊叹，在我们看来是时间上的突飞猛进，事实上却往往需要经过从一个地方到另一个地方，从一座城市到另一座城市的长途跋涉。商队在运送商品时带去了他们本国的贸易方式——度量衡制和计帐方法——同时也把技术和思想传遍亚洲和北非，传到他们所到过的一切地方。作为许多例子之一，毕达哥拉斯的数学理论也不是直接传给我们的。它激发了希腊人的想象力，不过，使它成为一种严谨的体系的地方却是这座尼罗河城市——亚历山大城（Alexandria）。
使数学这门学问系统化并声名大振的人是欧几里得（Eucilid），他于公元前约300年把这一理论体系带到了亚历山大城。
显然，欧几里得继承了毕达哥拉斯学派的传统。传说当一位听众问他某一条定理有什么实际用途时，他轻蔑地对他的奴隶说：“他想从学问中捞到点儿好处——给他一个小钱。”
这句指责之辞大概是从毕达哥拉斯学派同盟的一句箴言改编过来的，那句箴言大体可以译为“一个图解就是一个进步，而不是一个图解即一个小钱”——“一个进步”就是指人类知识的一个进步，或者如我所说，是人类的上升。
欧几里得是数学推理的典范，其影响巨大而又深远。在流传至今的书籍中，除了《圣经》，他的《几何原本》（Elementsof Geometry ）一书，在译成外文的种类和印行的数量上都是首屈一指的。第一位教我数学的老师在引用几何定理时，连数字都是沿用欧几里得用过的数字；这在50年前也并非罕见之事，而且是引经据典的标准方式。当约翰?奥布里（John Aubrey）在写到托马斯?霍布斯（Thomas Hobbes）人到中年突然“爱上几何学”与哲学的时候，他解释说，霍布斯在“一位绅士的书房里”偶然看到一本“欧几里得的《几何原本》，这本书正好翻到第1卷，命题第47。”欧几里得《几何原本》第1卷的命题第47就是毕达哥拉斯的这条著名定理。
大约在耶稣诞生前后的几个世纪里，人们在亚历山大城从事的另一门科学是天文学。我们又一次从传说故事的字里行间抓住了历史的发展动向。《圣经》上说，有三位智者追随一颗明星走到伯利恒（Bethlehem），这时，从这个故事里，我们又一次听到一个远古时代的回声，那时的先贤哲人就是星象的观察者。远古时代先贤哲人们所探求的日月星辰之谜，终于被一位在公元150年前后在亚历山大城从事研究的名叫克劳迪斯?托勒密（Claudiusptolemy）的希腊人解答了。他的著作的阿拉伯文本传到了欧洲，而希腊文原版却散失殆尽，有些是在公元389年基督教狂热分子掠夺亚历山大大图书馆时散失的，另外一些则是在黑暗的中世纪席卷东地中海地区的历次战乱和入侵中丢失的。
托勒密构造的天体模型复杂得出奇，不过，整个模型还是从一种简单的类比开始的。月球围绕地球旋转；显然，托勒密认为，太阳和行星也同样如此。（古人把月球和太阳看作行星。）希腊人相信，圆周是运动的完美形式，于是托勒密也让这些行星作圆周运动，或者让行星在围绕另一个圆周旋转的圆周上转动。在我们看来，这些圆和周转圆的图式似乎过分简单而又矫揉造作。但是，事实上，这一体系在当时却是一种美妙动人而又切实可行的发明，它体现了整个中世纪阿拉伯人和基督徒的一种信念。这一体系持续了1400年之久，远远超过任何更为晚近的科学理论在不作重大改动的情况下所能延续的时间。
在这里，思考一下为什么天文学发展如此之早，如此精密，而且实际上成为整个自然科学的原型这样一个问题是合乎时宜的。在所有自然科学中，日月星辰必定是最不可能引起人类无穷好奇心的自然物。而人体本身应当是早期的系统研究恰当得多的对象。那么，为什么天文学竟在医学之前发展成为第一门科学？为什么医学本身在抢救病人生命时，还要求诸星象，以预卜凶吉祸福呢？——难道占星术的魔力竟使人放弃把医学作为一门科学吗？我认为，一个主要的原因是，人们观察到的日月星辰的运行被证明是可以计算出来的，而且，很早以来（也许早在公元前300年的巴比伦），人们就将这些星辰的运动纳入数学运算范畴了。天文学之所以出类拨萃，成绩斐然，是因为它具有可以用数学方法加以研究的特点，而物理学的，以及最近的生物学的长足进步。也同样是取决于它们找到了自身规律的公式，而这些公式都是可以用数学的模式来表示的。
思想的传播往往需要某种新的推动力，公元600年，伊斯兰教的创立就是这样一种新的、强大的推动力，它开初只是一种地方性活动，后果如何，未能逆料；但是，当公元630年穆罕默德（Mahomet）一旦征服了麦加（Mecca），伊斯兰教就如疾风骤雨，席卷整个南方世界。在100年内，伊斯兰教占据了亚历山大城，又在巴格达（Baghdad）建立了一座宏大的学术城，并把它的边界推进到波斯的伊斯法罕（Isfahan）以东地区。到了公元730年，这个穆斯林帝国的版图从西班牙和法国南部开始，一直扩展到中国和印度交界的地方：这真是一个力量无比强大、堂而皇之的帝国，而在这时，欧洲却正处在中世纪的黑暗时代。
在这宗教的征服过程中，被征服民族的科学知识被人们以一种掠夺狂式的热情加以搜集。与此同时，从前被人视若等闲的简单的、地方性的技艺得到某种复苏。例如，用于建造最早的圆顶清真寺的器械并非什么复杂的玩意儿，不过是古代工匠使用的三角板——这种工具至今为人们沿用。位于伊斯法罕的“星期五清真寺”（Masjid-i-Jomi）就是早期伊斯兰教的宏伟的历史遗迹之一。在诸如此类的中心，希腊和东方的知识受到珍视，被广泛吸收，并不断丰富起来。
穆罕默德历来坚信，伊斯兰教不应成为一种崇尚奇迹的宗教，从它富于理智的内容上看，伊斯兰教已成为一种冥想与分析的形式。穆罕默德教义的著作家使神非人格化和程式化：伊斯兰教的神秘主义不在于血和酒、肉和面包，而是一种超脱尘世的出神入化。
安拉是天地之光。他的光照可比作放在壁龛中的一盏明灯，这盏灯罩在一个如星光般灿烂的水晶球中，交相辉映。在安拉己认可的、为纪念他的伟名而修建的寺庙中，人们从早到晚赞美他，不善经商或未能获利的人因牢记安拉而时来运转。
星盘（astrolabe）本来是希腊人的一项发明，伊斯兰教徒将这种星盘加以改进，精心制作，广为传播。作为一种天文观测装置，这种星盘仍很原始，它只能粗略地计算太阳或某个星体的黄纬（the elevation）。但是，将一幅或几幅星象图配合进行这种简单的观测，就可使用星盘进行一种程序复杂的计算，测定纬度、日出和日落、祈祷时间以及为香客测定去麦加朝觐的方向。和星象图不同，星盘上刻有占星术和宗教的图饰。令人感到一种神秘的慰籍。
在很长一段时间内，这种星盘好似世人常用的怀表和滑尺。1391年，诗人杰弗里.乔臾（Geoffrey Chaucer）写了一本教他儿子使用星盘的入门书，他是从8世纪的一位阿拉伯天文学家那里抄录来的。
对摩尔学者来说，计算是一种无穷的乐趣。他们喜欢计算难题，乐于寻求解决这些难题的独创方法，有时，他们还把自己的方法发展为机械装置。一种比星盘更为精巧的轻便计算器，即所谓的占星术或天文学计算器，有点像自动日历，就是在13世纪巴格达的哈里发帝国（Caliphate）制造的。它的运算原理并不深奥，只不过是一种可用来预报时日的组合式日晷，但它却是700年前那些工匠们高超的机械制造技艺的一个明证，也是他们热衷于玩弄数学游戏的一个明证。
那些勤勉好学、孜孜以求、宽容忍让的阿拉伯学者从遥远的地方带来的一项最重要的发明就是数字书写方法。那时，欧洲采用的表示数字的符号仍是笨拙的罗马字，书写数字是把罗马字简单地相加，拼凑而成：例如，1825写成MDCCCXXV，因为M等于1000，D等于500，C加C加C等于100＋100＋100，XX等于10＋10，而V等于5。而伊斯兰国家则以我们今天仍称为“阿拉伯数字”的现代十进位制记数法取而代之。
不过，一种用位数表示数量的数字体系一定要能够表示零位数。这种阿拉伯记数方法需要创造一个表示零的符号。在这一页手稿上，表示零的符号出现了两次；在出现得更多，看上去很像我们今天使用的符号。“Zero”和“Cipher”（零，无）就是两个阿拉伯字；而“algebra”（代数），“almanac”（年历、年鉴），“Zenitth”（天顶），以及数学和天文学上的另外10多个词也是阿拉伯语词。在大约公元750年时，阿拉伯人从印度传入十进位制。那以后又过了500年，十进位制才在欧洲通行。
大概由于这个摩尔人帝国广被千里，它成了一个知识的集市。帝国的学者既有东方的异端聂斯脱利派教徒（NestorianChristians），也有西方的异端犹太教徒（Jews）。尽管伊斯兰教力求改变人们的宗教信仰，却从不轻视他们的知识，这或许是伊斯兰教的一种宗教品质吧。在东方，伊斯法罕这座波斯古城就是它的纪念丰碑。在西方，也留下了一座堪与波斯城媲美的遗址，这就是西班牙南部的艾勒汗卜拉宫。
从外面看上去，艾勒汗卜拉宫是一座威严冷酷的方形要塞，看不出丝毫阿拉伯风格。但从内部来看，它却不是什么要塞，而是一座宫殿，一座精心设计、向世人预示极乐世界的宫殿。这座艾勒汗卜拉宫是一座晚期建筑。它体现了一个帝国在平静——如它所认为的——而安全地度过它的极盛时期之后的那种懒散与闲适。而一向崇尚冥思默想的宗教也变得越来越沉缅于感官刺激和自我陶醉了。官殿里流水漏漏，那碧波粼粼的流水形象几乎贯穿于全部阿拉伯音乐的旋律之中，尽管这些音乐都是以毕达哥拉斯的弦长比数为基础的，每一座庭院都像是对一种梦境的追忆与再现，苏丹从这些庭院中飘然而过（他不是步行，而是由人抬着走过的）。艾勒汗卜拉宫几乎是《古兰经》中所描绘的天堂上界的真实写照。
真主赐福给那些耐心工作，信奉安拉的人。那些信仰虔诚、努力行善的人将永远住在天堂里，河水从他们脚下滚滚流过……他们将受到尊敬，在充满欢乐的花园里，面对面地躺在睡榻上。一个杯子在他们中间来回传递，轮流享用那甘美、清彻的泉水……他们的配偶斜倚在柔软的绿色坐垫上或美丽舒适的地毯上。
艾勒汗卜拉宫是阿拉伯文明在欧洲的最后的、也是精美绝伦的纪念遗址。最后一个摩尔人王朝在这里一直执政到1492年，其时西班牙的伊莎贝拉（Queen Isabella）已在大力支持哥伦布的探险航行。整座宫殿由许多蜂窝状的庭院和厢房组成。宫中最隐秘的地方是沙拉德那什（Sala de las camas）。后宫的年轻姑娘们沐浴之后来到这里，一丝不挂地躺着，盲人乐师在长廊上吹拉弹唱，宦官轻轻走进走出。苏丹高高在上，观赏作乐，把一只苹果扔给他选中的姑娘，示意要与她共度良宵。
按照西方的文明习俗，这样一个房间应该挂满优美的女人裸体色情画。但这儿却不是这样。伊斯兰教禁止描绘人体，甚至人体解剖研究也完全被禁止，这正是穆斯林科学发展的一个主要障碍。因此，我们在这里只看到一些颜色鲜艳而又异常简单的几何形纹饰。在阿拉伯文明中，艺术家和数学家合而为一。我这样说并不夸张。这些图案表明，阿拉伯人在研究空间本身的微妙和对称性方面，即我们今天称为欧几里得空间方面，已达到相当高的水平。这种平面的两维空间是毕达哥拉斯首先加以描述的。
在这大量丰富的图案中，我就从最简单明了的一种图案开始吧。这种图案的花纹是一种两瓣叶片的重复，其中呈水平方向的是深色叶片，而呈垂直方向的是浅色叶片。这样，平行移动（即平行地改变图形的位置）和朝水平方向或垂直方向作反射移动，都会形成明显的对称关系。但是，请注意，更为微妙的一点是，阿拉伯人喜欢设计那种深色花纹和浅色花纹完全相同的图案。于是，如果你一时忽略了色彩的异同，便会看出，当你把深色叶片转动90度后，就转到了相邻的浅色叶片的位置上。然后，再次转动，又转到了另一个叶片的位置上，最后回到原先的位置。不过，在转动叶片时，你必须始终围绕同一个交合点旋转。这样你可以准确地围绕整个图案转动；不管离旋转的中心有多远，图案中的每个叶片都会转到相邻叶片的位置上。
沿水平线的反射是这种有色图案的双重对称，沿垂直线的反射也是如此。而当我们将颜色置于不顾时，我们就可以看到一种四重对称，它是由作四次90度的转动而形成的，我已经用这种方法证明了毕达哥拉斯定理；因此，对称的无色图案，就成了毕达哥拉斯式的正方形。
现在我再谈谈一种复杂得多的图案。这些好似被凤吹得卷起来的四种颜色的三角形，仅仅表现了一种非常明显的在两个方向上的对称关系。你可以垂直地或朝水平方向将这个图案移动到新的、完全相同的位置。图案中的花纹好像被风吹得卷起来似的这一点并非与本题无关。人们很难找到一种不可以反射的对称体系。然而，这个图案的花纹却是不可以反射的，因为所有这些被风吹得呈卷状的三角形都是向右转动的，如果不让它们朝左边转动，它们便不能反射。
现在，假设你不管这些三角形有绿、黄、黑、蓝色之别，把它们看成只有深、浅两色之分。那么，你就可以看到这里也有一种旋转的对称。再把你的注意力集中到交会点上，你就会看到六个三角形在这里相交，而它们的颜色则交替为深浅两色。一个深色三角形可以转动到下一个深色三角形的位置上，再转到下一个的位置，最后回到它原先的位置——这是一种使整个图素旋转的三重对称。
可能形成的对称还不仅限于此。如果完全不考虑颜色的差异，那么旋转角度稍小一些，你就可以使一个深色三角形移到它旁边的浅色三角形的位置上，因为这个浅色三角形与它的形状完全相同。照这样转下去，依次转到深色、浅色、深色、浅色，最后转回到原来的深色三角形的位置——这就成了一种使整个图案转动的空间的六重对称。实际上，我们大家都很熟悉这种六重对称，因为这就是雪的晶体的那种对称形式。
谈到这里，那些并非数学家的人们有理由发问：“怎么？这就是数学研究的东西吗？从前阿拉伯的教授，或者现代的数学家们就这样在这种不及大雅的游戏上耗费时日吗？”对这个问题出人意料的回答是——不，这不是一种游戏。它使我们直接面对某种我们易于忘怀的东西，即，我们生活在一种特殊的空间——三维的平坦空间——而且，这种空间的种种特性是无法突破的。在探究怎样才能使一个图案转回到自己原来的位置上时，我们就正在发现那支配我们的空间的无形法则。不仅在人为制作的图案中，而且在大自然所强加于基本的原子结构的种种规律法则中，只有特定的几种对称关系是我们的空间所能提供的。
包含着这类空间的自然形态的结构似乎是那些结晶体。而且，当你观察一个人手未曾触及的晶体——如冰洲石——时，你会十分惊奇地发现，冰洲石的表面为什么会是规整的，这一点并不是无须证明的。这些表面为什么会是平坦的平面，这一点也决非不言自明。晶体就是如此；人们已习惯于它们的规整和对称，但是，为什么会这样？它们这个样子，并非人力所及，而是自然的造化。这种平整的表面意味着其中的原子当初就是这样聚合起来的——这种，或那种。这种平坦和规整是空间用力于物质所致，其结果有如我刚才分析过的，空间也赋予那种摩尔人的图案以对称性。
拿一块立体的美丽的黄铁矿石，或者拿一块我认为美丽无比的八面体萤石（即天然金刚石）来看一看。它们的对称性也受我们生活其中的空间的性质的制约——也就是说，受我们生活其中的空间的三维和平坦的性质的制约。而且，没有任何原子的集合形式能够打破这种自然的决定性法则。正如构成一种图案的那些单元，一种晶体中的原子在各个方向上堆积重叠。因此，一种晶体，也就如同一种图案，必定具有某种能够在各个方向上扩展或重复自身的同一形状。这就是一种晶体的表面只能具有特定的形状的原因所在；就其图案而言，只能是这样或那样的对称形式。例如，旋转一圆周，只能转动两次或四次，三次或六次，不会再多了。而且不会转动五次。你不可能造成这样一种原子的集合形式，可以使完整占满空间的三角形一次有五个。
思考有关这些图案形式的问题，在实践中穷尽了空间各种各样可能的对称形式（至少在两维空间中），是阿拉伯数学的伟大成就。而且，这一成就，有长达1000年的历史，具有无比的权威性。这些国王、裸体女人、宦宫和盲人乐师，构成了一幅奇妙而又规则的图案，人们对其中存在的关系的探索在当时可谓尽善尽美，不过，遗憾的是，这种探索并不寻求任何变化。不到人类上升至发现某种新的动力之时，人们思想是不会有新的内容的，数学上也就不会有新的发现。
大约在公元1000年时，基督教文化开始从摩尔人从来征服过的地方，如地处狭长海岸地带的桑蒂拉那（Santillana）村，迅速折回到西班牙北部地区。在那里，基督教还是一种着眼于现世生活的宗教，这个村子里的一些纯朴而简单的偶像，如牛、驴，和耶稣基督，都表明了这一点。对穆斯林的宗教信仰来说，这些动物偶像是不可思议的。而基督教不仅允许动物形象的存在，耶稣基督本人就是普通的孩子，圣母也是一个普通的妇女和人人崇拜的对象。当我们看到宗教游行队列举着圣母玛丽亚像时，我们就像置身在一个不同的世界里：这不是抽象的图案，而是丰富多彩的、奔放热烈的生活。
当基督教文化重新夺回西班牙时，边界上的斗争十分激烈。然而这里的摩尔人、基督徒还有犹大人杂居在一起，创造了一种具有不同宗教信仰的不同寻常的文化，公元1085年，在托莱多（Toledo）城一度形成了这种混合文化的中心。托莱多是阿拉伯人从希腊、中东和亚洲将所有古典文献输入信奉基督教的欧洲的重要口岸。
我们把意大利看作文艺复兴运动的发源地。但是，文艺复兴的思想观念在12世纪时就已在西班牙形成了，这方面的重要标志与表现是托莱多的著名译书馆，在这里，大批古代典籍从古希腊文（欧洲早已忘记了这种文字），经过阿拉伯文和希伯莱文，译成拉丁文。在托莱多的其它文化进步中，人们还绘有一套早期的天文图表，这是一部关于星辰位置的百科全书。这套图表是按基督教风格绘制的，体现了这座城市和这个时代的特点，但数目字却是阿拉伯式的，并且是至今仍然能够被人们辨认出来的近代阿拉伯数字。
当时最著名的翻译家和杰出的人物是克雷莫纳（Cretnona）。的杰拉德（Gerard），他特意从意大利来到托莱多，查找托勒密的一部天文学著作《天文学大成》（Almagest），并留下来翻译阿基米德、希波克拉底、盖伦（Galen）和欧几里得等人撰写的希腊科学的经典著作。
但是，我个人认为，在其著作被翻译成拉丁文的人当中，最为杰出的，而且从长远来看最有影响的并不是一个希腊人。这是因为我对有关空间物体的认识颇感兴趣。而这恰恰是希腊人完全弄错了的一门学科。大约在公元1000年，这个问题首次被一位名叫海桑（Alhazen）的、性情古怪的数学家所认识，他是阿拉伯文化造就的一位真正富有独创精神的科学家。希腊人曾认为光线是从人的双眼投射到物体上的。海桑却第一次认识到，我们之所以能够看见一个物体，是因为这个物体的每一点把光线直射或者反射到我们眼中。希腊人的观点无法解释一个物体，比如说，我的手在移动时，它的大小似乎有所变化。按照海桑的说法，这显然是因为，当我的手从你眼前向远处移开时，我的手的轮廓和形状所反射的光锥面变得越来越狭窄。而当我的手向你眼前移过来时，进入你眼中的光锥面越来越大，形成的夹角也更大。这种观点，也只有这种观点，才能解释物体发生大小变化的原因。但是，令人吃惊的是，如此简单明了的观点，居然600年来一直没有引起科学家们的注意。（罗杰?培根（Roger Bacon）是一个例外）不过，艺术家们在此之前很久就已在实践中注意到这一点了。关于从物体进入眼睛的光锥面的这种概念成为透视画法的基础。而透视的观点又是使数学恢复勃勃生机的新思想。
15世纪时，在意大利北部城市，如佛罗伦萨和威尼斯，透视的观点进入艺术创作领域，风靡一时。洛伦佐?吉贝尔蒂（LorenzoGhiberti)为罗马梵蒂冈图书馆中的海桑的《光学》手稿译文作了注释，并且为佛罗伦萨的洗礼堂大门创作了著名的青铜透视画。他并不是透视画法的第一位先驱——第一位先驱可能是菲利普?布鲁内荣斯基（FilippoBrunelleschi）。当时已有好些像他那样的画家，足以组戍一个透视画派。这也是一个思想的流派，因为它的目的不仅仅是使画中的人物栩栩如生，唯妙唯肖，而且要赋予画中人物空间的动感。
只要我们将透视画派的一幅作品与一幅更早时期的作品相对照，就不难看出这种动感。
卡尔帕乔（Carpaccio）描绘圣?乌尔苏拉（St Ursula）离开雾霭迷茫的威尼斯港的绘画作于1495年。正如这时人们的耳朵能从欧洲音乐的新和声里欣赏出另一种深度和立体感一样，这幅画的明显效果是赋予视觉空间以一种第三维的感觉。不过，最主要的还不在它的深度，而在于它的动感。正如那新兴的音乐，这幅画和画上的人物使人感到是活动的。总而言之，我们感到这位画家的视线在不断移动。
对照一下一幅佛罗伦萨的壁画。它创作于公元1350年，比卡尔帕乔的画要早100年多。这幅壁画是从城墙外的某个角度来看这座城市，画家幼稚地越过城墙和房顶看过去，在他的画上那些建筑像阶梯一样排列起来。但这并不是技巧问题，而是创作意图问题。画家并不想采用透视画法，因为他认为自己是在按照事物本来的样子，而不是按照它们看上去的样子把它们记录下来：这是一种上帝的眼光，一幅永恒真理的画图。
而透视画家的意图则不一样。他有意识地让我们抛开绝对和抽象的眼光。他让我们不去过多地注意某一地点，而更多地着眼于某一瞬间：着眼于时间，而不是空间。所有这一切，是借助于精确的、数学性质的手段实现的。一位德国艺术家仔细地记录了这种画法，他就是阿尔布雷希特?丢勒（Albrecht Durer），他于1506年来到意大利，学习“透视画法的神秘艺术”。丢勒本人当然也着眼于刻划稍纵即逝的一瞬，如果我们再现他描绘的情景，我们会看到这位艺术家选择了一个富于戏剧性的时刻。他可能会围着模特儿走几步就停下来。或者，他会继续走下去，在此后的某一时刻才把视线固定下来。但是，在他从正面观察模特儿时，在这关键时刻，他的眼睛好似照相机快门，摄下他所看到的情形。透视并不是一种观点；对艺术家来说，它是一种积极主动、连续不断的创作行为。
在旱期透视画法创作中，人们习惯于用一种观测器和一种框格来捕捉视觉的瞬间所见。
这种观测手段来自天文学，而人们当时用来绘画的这种方格纸，今天成了数学运算的辅助用品。丢勒热衷于描绘的自然界所有的细枝末节，都是时间的动态的表现：这头公牛，这头毛驴，圣母玛丽亚脸上洋溢着的青春气息。这幅画题名为《东方贤人之爱》（The Adorationof the Magi)。来自东方的三位贤哲之士找到了他们的命运之星，这颗星辰宣告了时间的诞生。
丢勒在这幅画的中央画上的这只圣餐杯是用来教授透视画法的一个样板。例如，我们知道乌切洛（Uccello）对这只圣餐杯所作的分析；我们可以在电子计算机上象这位透视画家那样显示这只圣餐杯的构图。他的视线像一只转盘那样追随和探索杯子形状的线条变换那种由圆向椭圆形的延伸，并且不断捕捉那在空间逝去的瞬息时间。
分析一个物体不断变化的运动，正如我可以在电子计算机上做的那样，对希腊人和伊斯兰教徒的头脑来说，当时还相当陌生。他们总是寻求静止不变的东西，或者寻求一种秩序井然、完美无缺的永恒境界。对他们来说，最完美的形状是圆。圆周运动必定是平稳自如而又始终如一的，这就是天体的谐和。
这也说明托勒密的世界体系为什么是由一些圆构成的，时间沿这些圆平稳地、始终如一地运行不息。但在现实世界中，各种运动并非一成不变。它们每时每刻都在改变方向和速度，一直到一种认为时间是一个变量的数学理论创立之后，人们才可能对这些运动进行分析。这对天体来说是一个理论问题，而在地球上，这却又是一个非常实际而直接的问题——在一个抛射体的飞行中，在一种植物急速的生长中，在形状和方向突然变化的一滴水珠的迸溅中，这的确是个很实际的问题。文艺复兴时期的人们还没有能够使这稍纵即逝的画面停止不动的技术装备。但那时却有一种高明的设备：画家的心灵之窗，和数学家的逻辑推理。
于是，在1600年之后，约翰尼斯?开普勒（Johonnes Kepler）终于相信，行星的运行轨迹并不是圆的，也不是恒定不变的。行星的轨迹呈椭圆形，行星沿这种椭圆形轨迹以不同速度运行。这就意味着，静止式的古老数学不再能满足需要了，把运动看成恒定不变的那种数学也已过时。人们需要一门能给瞬时运动下定义并能计算这种运动的崭新的数学。他们是艾萨克?牛顿（Issac NeWton）和哥特弗莱德?莱布尼茨（Gottfried WilhelmLeibniz），今天，这对我们来说，是如此熟悉，以致我们把时间看作是一种描述自然状况的天然要素，但以前情况却并非总是如此。正是牛顿和莱布尼茨提出了正切、加速度、斜率、无穷小、微分等等概念。有一个词现在已被人们淡忘了，但是，用它来描述那曾经被牛顿好比用照相机诀门固定下来的时间的流动，是再恰当不过的了：这就是“流数”
（Fluxions），它是牛顿（在莱布尼茨之后）给今天所谓微积分起的名字。如果仅仅把微积分看作一种更为先进的技术，这并没有把握住它的真实内容。在微积分理论中，数学变成了一种能动的人类思维方式，这是人类在其上升历程中智力发展的重要一步。说来也真是奇怪，使微积分理论行之有效的技术性概念竟是一种关于无穷小的概念，赋予无穷小这个概念精确严格的含义，使人类知识有了新的突破。不过，我们还是把这个技术性概念留给专家学者们去研究，我们就姑且把这种数学叫作变化的数学吧。
自从毕达哥拉斯宣称数字是自然的语言以来，自然界的种种法则都一直是用数的关系来描述的。现在看来，这种自然的语言不能不包括那些描绘时间变化的数的关系。自然的法则成了运动的法则，而自然界本身，也成了一个不断运动的过程，而不再是一系列静止的结构形态。