第九章 垛积招差 第二节 隙积术

等差级数问题在宋元时代发展为高阶等差级数求和问题。这一课题的开创者是北宋大科学家沈括。沈括研究了《九章算术》的刍童等立体体积公式(见第四节)，认为已相当完备，但是，没有求隙积的方法。隙积就是积之有隙者，如将一颗颗棋子、坛、罐等垒起来，如图34，虽然有刍童的形状，但因有刻缺空隙，若用刍童术求积，数值偏小。沈括便提出了隙积术。设隙积的上底宽a₁，长b₁，下底宽a₂，长b₂，高n层，且a₂-a₁-b₂-b₁=n-1，沈括提出的隙积术是：S=a₁b₁+(a₁+1)(b₁+1)+(a₁+2)(b₁+2)+…+a₂b₂=n〔(2a₁+a₂)b₁+(2a₂+a₁)b₂+(a₂-a₁)〕/6

图34 隙积

即刍童状隙积中物件的个数比刍童体积多n/6×(a₂-a₁)。隙积术实际上是一个二阶等差级数求和问题：

级数a₁ b₁(a₁+1)(b₁+1)(a₁+2)(b₁+2)(a₁+3)(b₁+3)(a₁+4)(b₁+4)…一阶差a₁+b₁+1a₁+b₁+3a₁+b₁+5a₁+b₁+7…二阶差2222…

南宋杨辉《详解九章算法》以各种菓子垛比类《九章》的立体。其中刍童形菓子垛与沈括的隙积术相同。四隅垛(比类方锥、阳马)的求积公式为：S_n=1²+2²+3²+…+n²=n(n+1)(n+½)/3

方垛(比类方亭)的求积公式为：S_n=a²+(a+1)²+(a+2)²+…+(b-1)²+b²=n〔a²+b²+ab+½(b-a)〕/3

三角垛(比类鳖臑)的求积公式为：S_n=1+3+6+10+…+½n(n+1)=n(n+1)(n+2)/6

不难看出，这都是二阶等差级数求和问题。同时，可以看出，在沈括的隙积术中令a₁=b₁=1，a₂=b₂=n，便是杨辉的四隅垛公式；令a₁=b₁，a₂=b₂，便是杨辉的方垛公式；令a₁=1，b₁=2，a₂=n，b₂=n+1，便成为两个三角垛之和1·2+2·3+3·4+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3。

两端除以2，便得到杨辉的三角垛公式。