第四章 面积与体积 第四节 圆体体积

这里的圆体主要指圆柱、圆锥、圆台、球等有关的立体。《九章》称圆柱体为圆堢壔〔baodao堡倒〕，或圆囷，称圆台为圆亭。《九章》提出：圆柱体的体积公式为

V=(1/12)hL²，圆锥体的体积公式2，圆台的体积公式V=(1/36)(L₁L₂+L₁²+L₂²)h，其中L为下周，L₁、L₂为上、下周，h是高。显然，这些公式都对应于圆面积公式S=(1/12)L²，因而是不准确的。刘徽用圆周率157/50将其系数1/12修正成25/314。

球在《九章》中称作立圆，刘徽称之为丸。《九章》没有明确给出球体积公式，但少广章开立圆术由球体积V求直径d的公式是d=³√(16V/9)，说明V=(9/16)d³。刘徽指出此公式不正确。他设计了牟合方盖，而祖暅之彻底解决了这个问题。

曲池是一种平剖面为一段圆环的立体，形状如图13所示。《九章》将它归于刍童类，不过公式中的上长b₁代之以½(L₁+L₂)，下长b₂代之为½(l₁+l₂)，此L₁、L₂为曲池上底的中周、外周，l₁、l₂为下底的中周、外周，因此其公式应为V=(1/6)［(2a₁+a₂)(L₁+L₂)/2+(2a₂+a₁)(l₁+l₂)/2］h。

图13 曲池