1
任何数字除以零，都不会得出一个有意义的数字来。因为除法被定义为乘法的逆转：如果你先除以零，然后再乘以零，理应得到开始那个数字。然而，乘以零只会得出零，不会得出任何别的数字。没有任何数字乘以零会得出非零的结果。因此，除以零的结果实际上是“无意义的”。
1A
里瓦斯太太进来的时候，雷内正望着窗外。
“才待了一个星期就要出院吗？都谈不上是真正的住院。老天知道，我可是非得长期待下去不可。”
雷内强作笑脸说：“我相信你不会待很久的。”里瓦斯太太爱在病房里指手画脚。大家都知道她的所作所为不过是做做姿态而已，但医生助手们对她还是留了点神，以免她偶然成功。
“哈。他们倒是巴不得我走。你知道如果你死在医院里，他们要负什么责任吗？”
“知道。”
“可以肯定这就是他们所担心的。始终是他们的责任——”
雷内没有理睬，目光又重新转向窗外，眺望一道烟雾横过天空。
“诺伍德太太？”护士叫道，“你的丈夫来接你了。”
雷内又向里瓦斯太太礼貌地一笑，然后离开了。
1B
卡尔再次签了名字，护士把表格拿去处理。
他记得他送雷内来住院时的情景，并想起第一次面谈时那些老套的问题。当时，他耐着性子，一一回答。
“是的，她是一名数学教授。你在《名人录》里可以找到她的名字。”
“不对，我是搞生物学的。”
以及：
“我落下了一盒我需要的载物玻璃片。”
“不，她不可能知道。”
还有他预料中的问题：
“得过。那是大约二十年前我读研究生的时候。”
“不，我是试图跳楼。”
“不，当时我和雷内还不认识。”
如此等等，等等。
现在，他们确信了他能干可靠，便准备让雷内出院，接受门诊治疗。
蓦然回首，卡尔心不在焉地觉得有点吃惊。在整个面谈期间，除了短暂的一刻外，他没有丝毫似曾相识的错觉。和医院、医生、护士打交道的过程中，他的唯一感觉是麻木，是枯燥无味，是机械重复。
2
有一个著名的“证明”，得出一等于二。该证明的开始是定义：“假设a=1；假设b=1”，得出结果：“a=2a”，也就是说，一等于二。人们容易忽视的是，这个证明过程中将零作为被除数。在这一点上，该证明越过了雷池，使所有法则都彻底失效。允许除以零，不仅可以证明一和二相等，任何两个数字——无论是真实的还是想象的，无论是有理数还是无理数——都可以是相等的。
2A
刚和卡尔回到家里，雷内就立刻走进书房，来到书桌跟前，将她的所有手稿面朝下扫成一堆。折腾期间，每当有一页纸面朝上，她就会情不自禁地退缩。她想干脆一把火把书稿烧了，但那样做只有象征意义。其实，只要对它们视而不见，效果是一样的。
医生也许会把这种举止描述成自我强迫性行为。雷内想起先前自己作为病人时在这些傻瓜的监护下所受到的屈辱，不禁皱起眉头。她想起自己作为有自杀念头的病人，被锁在病房里，受到医生助手们二十四小时的监护，还要接受医生的拷问。他们一副屈尊的派头，说的话枯燥又乏味。她不像里瓦斯太太，不会玩弄伎俩。其实那些伎俩很简单，只要说“我知道自己还没有康复，但感觉好些了”，他们就会认为你差不多可以放出去了。
2B
卡尔站在门口注视雷内片刻，这才走过门廊。他回想起整整二十年前，他自己被放出来那天的情景。他的父母来接他，回家途中，他母亲唠叨了一些空洞无物的话，什么大家见到他会多么高兴呀等等。他竭力抑制住自己，才没有甩开母亲搭在他肩膀上的手。
他为雷内做的一切，正是他自己在被监护期间想得到的。尽管最初她拒绝见他，他还是每天都上医院来，以便她想见他时，他在身边。他们俩有时候交谈，有时候只是在医院里散散步。他没有发现自己做的一切有什么不对，而且他知道，她很高兴他这么做。
他确实作了种种努力，但他只觉得自己在尽义务而已。
3
伯特兰·罗素和阿尔弗雷德·怀特海在其合著的《数学原理》中，试图将形式逻辑作为数学的严谨基础。这部大作以他们所认为的公理开始，推演出愈来愈复杂的定理。到了第362页，他们已经建立了足够的定理，终于证明了“1+1=2”。
3A
七岁那年，雷内察看一个亲戚的房子，她着迷似的发现地板上铺的光滑的大理石地砖呈完美无瑕的正方形。一个一行，两个两行，三个三行，四个四行：地砖拼成正方形。无论你从哪面瞧去，形状都一样。更奇妙的是，每一个正方形都比前一个多出呈奇数的地砖。雷内获得了顿悟。结论很自然：这种形式具有一种内在的完美，由地砖那光滑、清凉的感觉所证实。还有，地砖彼此拼接，之间的线条严密得天衣无缝。她为这种精确性激动得浑身颤抖。
在往后的岁月里，她又获得了其他顿悟，其他成就。二十三岁就完成令人惊叹的博士论文，写的系列论文好评如潮。人们将她比作诺伊曼，大学竞相笼络她。而她自己对这一切向来不在意。她在意的是那种完美的感觉，她学到的每一个定理都具有这种完美，与地砖一样实在，一样精确。
3B
卡尔觉得今日的他是在与劳拉相识之后才诞生的。他出院后闭门不见任何人，但一位朋友设法把他介绍给劳拉。最初，他将她拒之门外，但她理解他。他身心俱疲时她爱他，一旦他康复，她又让他自由。认识她之后，卡尔懂得了什么叫感应他人的心灵。他脱胎换骨了。
劳拉获得硕士学位后继续深造，与此同时卡尔也在大学攻读生物学博士学位。后来，他饱受各种精神危机和心脏疾病，但再也没有绝望过。
一想到劳拉这种人，卡尔就惊羡不已。自从读研究生以来，他就没有和她交谈过，这些年来她的生活怎么样？不知她爱上了什么人。他很早就认识到了这种爱是什么，不是什么。他对这种爱无比珍视。
4
十九世纪初叶，数学家们开始探索不同于欧几里得几何的几何学。这些新几何学得出了一些似乎荒谬的结果，但在逻辑上却没有矛盾。后来证明，非欧几何是与欧几里得几何学一致的相关学问，只要欧几里得几何学在逻辑上没有矛盾，非欧几何也就没有矛盾。
但要证明欧几里得几何学的一致性，这可难倒了数学家们。到了十九世纪末叶，所取得的成就至多证明：只要算术在逻辑上没有矛盾，那么，欧几里得几何学就没有矛盾。
4A
一开始，雷内只觉得这是个有点恼人的小麻烦。当时她穿过走廊，敲敲彼得·法布里希办公室敞开的门。“彼得，有空吗？”
法布里希将座椅从办公桌后推开。“当然有空，雷内，什么事？”
雷内走进去，心里知道他会有什么反应。以前她从来没有向系里任何人请教过问题，都是别人向她请教。没有关系。“我想请你帮个忙。几周前我曾告诉你我正在研究的体系，还记得吗？”
他点了点头，“你想用这个体系来改写公理系统。”
“没错。是这样的，几天前我开始得出十分可笑的结论，现在我的体系也开始自相矛盾。请你看一看，好吗？”
法布里希的表情在意料之中。“你想——当然可以，我很高兴——”
“太好了。问题就出在头几页的例子里，其余的供你参考。”说着她递给他一扎薄薄的手稿，“我觉得如果让我给你从头到尾讲一遍的话，你可能会受我引导，只能得出和我相同的结论。”
“也许你说得对。”法布里希瞧了瞧头几页，“我不知道要多久才能看完。”
“不着急。等你有空，看一看我的假设是否有模糊之处，诸如此类的问题。我还会继续研究的，到时候会告诉你我是否想出了新东西。好吗？”
法布里希微笑道：“你准会今天下午就过来，告诉我你已经发现了问题。”
“恐怕不会，需要换一个人才能发现问题。”
他摊开双手。“我试试吧。”
“谢谢。”法布里希不大可能充分理解她的体系，但她只需要某个人来检查公式的细节问题就行了。
4B
卡尔是在一位同事举行的聚会上与雷内相识的。他被她那张脸吸引住了。那是一张异常平庸的脸，大多数时间不苟言笑，但在那次聚会期间，他看见她两度微笑，两度皱眉。看她笑时觉得她不会皱眉，看她皱眉时又觉得她不会笑。卡尔很吃惊；他能够辨认出什么样的脸经常微笑，什么样的脸经常皱眉，但是对她那张脸，他却捉摸不透。
他花了很长一段时间来了解雷内，读懂她的表情。不过，这无疑是值得的。
此时，卡尔坐在书房里的安乐椅上，膝盖上放着一本最新一期的《海洋生物学》杂志，他在倾听雷内在客厅对面她自己的书房里揉皱纸张的沙沙声。整个晚上她都在工作，可以感觉出她愈来愈焦躁不安。不过他进去察看时，她又板起平时那张没有表情的脸，丝毫看不出什么来。
他将杂志放到一边，再次起身走到她的书房门口。只见书桌上摊开一册书，书页上布满难以辨识的公式，点缀着用俄语写的评注。
她浏览着一些资料，难以觉察地皱皱眉，啪的一声合上。卡尔听见她嘀咕了一声“没用”，然后将书放回书架。
“这样下去你会弄出高血压的。”卡尔取笑道。
“别以我的保护人自居。”
卡尔吃了一惊，“我没有。”
雷内转身瞧着他，怒目相对。“我知道自己什么时候工作有效率，什么时候没有。”
心一凉。“那么，我就不打扰你了。”他退了出去。
“谢谢”说完，她的注意力又回到书架上。卡尔离开了，竭力揣测她的瞪视的含义。
5
在一九〇〇年举行的国际数学大会上，大卫·希尔伯特列出了二十三个悬而未决的重大数学问题。他列出的第二大问题是请证明算术在逻辑上的一致性。这个问题一旦被证明，就将保证高等数学许多内容的一致性。就本质而言，这个证明所能保证的是这一点：不可能证明一等于二。认为这个问题具有重大意义的数学家寥寥无几。
5A
法布里希还没有开口，雷内就知道他要说什么了。
“这简直是我见过的最要命的东西。还不大会走路的幼儿会把不同断面的积木嵌进不同形状的槽子里，你知道那种玩具吗？读你的形式体系，就好像观看一个人把一块块积木滑进木板上的每一个洞里，每一次都做得天衣无缝。”
“这么说来，你发现不了错误？”
他摇摇头。“发现不了。我滑进了和你相同的套路，只能用你的方法思考这个问题。”
雷内却已经不在老套路上了；她另辟蹊径，想出了一个截然不同的路子来解决这个问题，但却仅仅证明了原先的体系确实存在矛盾。“不过，还是谢谢你费心了。”
“你要另外找人看一看吗？”
“是的。我想寄给伯克利的卡拉汉看看。去年春天那次会议以来，我们一直保持着联系。”
法布里希点了点头，“他上次发表的一篇文章真的给我留下很深的印象。如果他发现了问题，请一定告诉我。我很好奇。”
雷内会用比“好奇”更强烈的字眼来形容她自己的心情。
5B
雷内对自己的研究感到绝望了吗？卡尔知道她从来不觉得数学真的困难，而只把它当成一种智力挑战。难道她是第一次遇到无法突破的难题？或者说，数学本身就是无解的吗？严格说来，卡尔自己是一个实验主义者，并不真正懂得雷内是怎么创造新的数学体系的。虽说听上去有点傻，但是——她是灵感枯竭了吗？
雷内是成年人，不会像神童那样，因为发现自己正在成为平庸的成年人而感到幻灭的痛苦。另一方面，许多数学家在三十岁之前就达到事业的巅峰。虽然她离三十岁还有几年，但也许她对这个年龄界限逼近自己而感到焦虑。
似乎不大可能，他又漫无边际地想了其他几种可能性。她会不会对学术感到愈来愈悲观？是对自己的研究过于专业化而感到悲哀吗？再不然，纯粹是对自己的工作感到厌倦了吗？
卡尔并不相信这些焦虑是雷内行为古怪的原因。果真是这样的话，他觉得自己肯定会发现蛛丝马迹。但他现在得到的印象却全然不是这么回事。令雷内感到苦恼的无论是什么，反正他猜不透。这使他感到烦恼。
6
一九三一年，库尔特·哥德尔证明了两大定理。第一个定理实际上表明：数学包含或许是真实的，但在本质上却无法证明的陈述。甚至简单如算术的形式系统也可以包含精确、有意义，而且似乎是真实无疑的陈述，但却无法用形式方法加以证明。
他的第二个定理表明：断言算术具有逻辑上的一致性，这就是上面所说的那种陈述之一，采用算术公理的任何方法都不能证明其真实性。也就是说，作为一种形式系统的算术无法保证不会得出一等于二这样的结果。这样的矛盾也许永远不会遇到，但却无法证明绝对不会遇到。
6A
卡尔再次走进雷内的书房。她站在书桌前，抬头看他。他鼓起勇气说：“雷内，显然是——”
她打断他，“你想知道我烦恼的原因吗？好吧，我告诉你。”说着便拿出一张白纸，在书桌前坐下，“等一下，这需要一点时间。”卡尔又张开嘴，但雷内挥手示意他保持沉默。接着，她深深地吸了一口气，开始写起来。
她画了一条线，穿过纸的中央，将纸分成两栏。然后，她在一栏的顶部写下数字1，另一栏的顶部写下数字2。接着她在这两个数字下面迅速地画了一些潦草的符号，又在这些符号下面把它们扩展成一串串别的符号。她边写边咬牙切齿，写下那些文字时，感觉好像她正用指甲刮过黑板似的。
写到纸的三分之二左右时，雷内开始将长串长串的符号缩短成连续的短串符号。她心里想，现在要到关键处了。她意识到自己用力过大，下意识地放松握在手中的铅笔。在她写出的下一行上，符号串变成一样的了。接着，她重重地画了个“=”号，横过纸的底部中心线。
她将纸递给卡尔。他望着她，表示看不懂。“看一看最上面吧。”他照办了，“再看一看最下面。”
他眉头紧锁。“我还是看不懂。”
“我发现了一种体系，可以使任何数字等于任何别的数字。这张纸上就证明了一和二是相等的。你随便挑两个数字，我都可以证明它们是相等的。”
卡尔似乎竭力在回忆什么。“里面肯定出现了以零为被除数的情况，对吗？”
“不对。没有不符合规则的运算，没有不严谨的术语，没有想当然假定的独立公理，全都没有。证明过程绝对没有采用任何规则禁止的东西。”
卡尔摇了摇头。“等一下。显然一和二是不相等的。”
“但在形式上它们是相等的，证明就在你手里。我使用的一切方法都是绝对无可争议的。”
“但你得出了一个矛盾的结果？”
“说对了。也就是说，算术作为一种形式系统，是不一致的。”
6B
“你找不出错误来，这就是你的意思吗？”
“不对，你没有明白我的意思。你以为我是因为这个才焦头烂额的吗？证明本身并没有错误。”
“你的意思是说，用的方法都是对的，结果却出了错？”
“正确。”
“你肯定——”他戛然而止，却太晚了。她瞪着他。她当然可以肯定。他想知道她到底想得出什么结论。
“你懂吗？”雷内道，“我已经推翻了大半个数学，这门学问全都没意义了。”
她焦躁起来，几乎快发疯了。卡尔小心翼翼地选择字眼，“你怎么能这么说？数学仍然有用。科学和经济并不会因为你这个领悟而突然崩溃的。”
“这是因为他们使用的数学纯粹是骗人的把戏，是一种口诀式的小玩意儿，跟用指关节来计算哪些月份有三十一天一样。”
“不一样。”
“为什么不一样？现在，数学与现实绝对毫无关系。且不说像虚数或者无穷小数之类的概念，就连该死的整数加法都跟用指头计算毫无关系。你用指头计算，一加一始终等于二，但在纸上我可以给你无穷多的答案，这些答案全都同样有效，这也意味着它们全都同样无效。我可以写出你见过的最优美的定理，但它却不过是一个瞎扯淡等式。”她苦笑起来，“实证主义者曾经说一切数学都是同义反复。他们错了；数学是自相矛盾。”
卡尔试了试另一种方式。“等一下。刚才你提到的虚数这类想象出来的概念，大家不也一样接受了吗？现在不也可以这样吗？数学家们曾经相信虚数没有意义，可是现在它们成了数学的基础概念。情况完全是一样的呀。”
“不一样。当时的解决方法只是扩展语境，用在这里不起作用。虚数给数学增添了新的内容，而我的形式系统却是给已经存在的东西下定义。”
“但是，如果你改变语境，从不同的角度探索——”
她翻了个白眼。“不可能！这个体系是从和加法一样明白无误的公理得出的结果，无法绕过。我可以担保。”
7
一九三六年，格哈德·根岑提出了一种对算术一致性的证明，可是要作出证明，他需要采用一种有争议的方法，即人们所知道的超限归纳法。这种方法不属于正常的证明方法，因此似乎难以恰当地保证算术的一致性。根岑所做的是使用可疑的方法来证明显而易见的东西。
7A
卡拉汉从伯克利大学打电话来说他也不能雪中送炭，但表示愿意继续研究她的论文，似乎她触及到了某种本质的，而又令人不安的东西。他想知道她是否打算发表她的形式体系，如果这个体系的确包含他们两人都无法发现的错误，数学界肯定会有其他人能够发现。
雷内几乎没有听他说话，只是嘀咕以后会打电话联系他。近来，她与人讲话很困难，尤其是那次与卡尔争论以来，情况更糟糕。系里的同事们都尽量避开她。她显得心不在焉。前一天夜里她做了一个噩梦，梦见自己发现了一种形式体系，可以使她将主观概念转换成数学语言，然后，她证明了生与死是相同的。
有一种可能性让她十分惊恐：她可能正在失去理智。她的思维肯定已不再清晰，这与失去理智已经相差无几了。
她责备自己，你是一个多么可笑的女人。哥德尔证明他的不完全定理后自杀了吗？
但是，哥德尔的定理是优美的，让人肃然起敬，是雷内所见过的最优美的定理之一。
而她自己的证明却嘲讽她，讥笑她。就好像益智书中的一道难题，它说：这下我可把你难住了。你跳过这个错误，查看自己在哪儿出了问题，结果绕了一圈又兜回来，那个难题再一次对你说：又把你难住了。
她估计卡拉汉也会考虑她的发现对数学的意义。数学的许多内容并没有实际用处，她的理论也可以仅仅作为一种形式而存在，研究它只是为了它所包含的智力美。但这是不能持久的。自相矛盾的理论实在太无意义了，绝大多数数学家只会厌恶地置之不理。
使雷内真正感到恼火的是她自己的直觉出卖了她。那个该死的定理大有道理。它以自己怪异的方式给人一种感觉：它是正确的。她理解它，知道它是真实的，并且相信它。
7B
想到她生日那天的情景，卡尔微笑起来。
“我不相信！你怎么可能知道？”她手里抱着一件毛衣跑下楼来。
去年夏天，他们俩在苏格兰度假。爱丁堡一家百货商店有一件毛衣吸引住了雷内的目光，但当时她没有买。于是他订购了这件毛衣，放在她的梳妆台抽屉里，等那天早晨给她一个惊喜。
“你这个人太容易被人一眼识破了。”他取笑她。夫妻俩都知道这不是真话，但他还是喜欢这样告诉她。
那是两个月前的事情了。差点两个月。
现在情况不同了，需要改变一下做法。卡尔走进雷内的书房，发现她正坐在椅子上眺望窗外。“猜一猜我为我们俩搞到了什么？”
她抬起头来。“什么？”
“周末游。我在比尔特莫尔订了一套房间。我们可以放松放松，什么都不做——”
“请别说下去了。”雷内说，“卡尔，我明白你的心意。你想让我们做点愉快的事情，好让我散散心，不去想这个形式体系。但这不起作用。你不知道我承受的是什么样的压力。”
“算了吧，算了吧。”他拉住她的手，想把她从椅子上拉起来，可是她挣开了。卡尔稍站片刻，突然，她转过身来，死死盯着他。
“我想吃安眠药，这你知道吗？我几乎希望自己是一个白痴，用不着去思考形式体系。”
他大吃一惊，不知道说什么好。“你至少可以尝试离开一段时间，为什么不呢？有益无害呀，说不准能分散你的心思呢。”
“没有什么可以分散我的心思。你不明白。”
“那就解释给我听吧。”
雷内呼出一口气，转身想了一下。“这就像我看见的一切都在向我大喊大叫那个矛盾。”她说，“现在我一直在给不同的数字画等号。”
卡尔陷入了沉默。突然间，他懂了。“这就好像面对量子力学问题的古典物理学家们。仿佛你一直相信的理论给取代了，而新的理论又没有意义，但不知怎么回事，所有证据却都支持这种新理论。”
“不对，压根儿不是那么回事。”她几乎对他的说法嗤之以鼻，“这与证据没有丝毫关系；这完全是先验的。”
“怎么没关系？你的推理和证据之间互相矛盾，这不正是你的问题吗？”
“基督呀，你在开玩笑吗？我测算一和二相等，现在我的直觉也告诉我它们相等。我脑子里再也没有不同数量这个概念了，它们对我来说全都是相同的。”
“你不是这个意思吧。”他说，“事实上谁也不可能经历这种事情。”
“你怎么知道我能够经历什么呢？”
“我在尽力去理解。”
“别操那份心了。”
卡尔失去了耐心。“那好吧。”说着他走出房间，取消了预订。
从那之后，夫妻俩彼此寡言少语，只有必要时才说话。三天后，卡尔把他需要用的一盒载玻片落在家里，便驱车回家取，到家后发现桌子上有一张妻子的留言条。
接下来，卡尔产生了两个直觉。他飞奔穿过房子，边跑边纳闷她是否从化学系搞到了氰化物。就在这时，他产生了第一个直觉：他意识到因为不明白是什么原因导致她做出这种事，所以对她没有什么同情之类的感受，没有任何感受。
当他一边猛敲卧室门，一边向屋里的她吼叫的时候，他产生了第二个直觉：一种记忆错觉。这种情形似曾相识，却又逆反得荒谬。他记得自己曾经待在一座建筑物房顶的一道锁着的门内，听见一位朋友在外面一边猛力敲门，一边向他吼叫别寻短见。此刻他站在卧室门外，听见她羞愧地瘫倒在地板上哭泣，与他当年待在门里面时的情形毫无二致。
8
希尔伯特曾经说过：“如果连数学思维都有缺陷，我们还能在哪里找到真理与确定呢？”
8A
雷内暗自纳闷：她自杀未遂会给自己的一生蒙上阴影吗？她把书桌上的论文整理好。从此以后，人们会下意识地把她视为行为反复无常的人吗？她从来没有问过卡尔他是否也有过这种焦虑，也许是因为不愿对他提起当年他自杀的事。那是多年以前的事了，如今，任何见到他的人都会立刻知道他是一个健全的人。
然而，雷内却不能说自己是个健全的人。眼下，她不能理性地讨论数学，而且不敢肯定将来她是否能够恢复理智。现在，如果她的同事见到她，会不会说她已经丧失了数学才华？
做完案头的工作，雷内离开书房，走进起居室。她的形式体系传遍数学界后，将彻底动摇根深蒂固的数学基础，但是只有少数人会受到她这样的影响。大多数人会像法布里希一样，机械地理解她的证明，被它折服，但仅此而已。能同她一样感受深切的只有那些能够真正领会其中的矛盾，并能够凭直觉感知这种矛盾的人。卡拉汉就是其中的一位。她心想，随着时间的推移，不知他会如何对付这个矛盾。
雷内用手指在铺满灰尘的茶几上画了一条曲线。如果是在以前，她可能会确定曲线的参数，分析曲线的一些特点。而现在，这一切似乎都毫无意义了。她的想象力简直崩溃了。
同许多人一样，她以前一直以为数学并不从宇宙那里获得意义，而是赋予宇宙以意义。物理实体无所谓大或者小，无所谓相同或者不相同，它们纯粹是存在。数学是完全独立的，它实际上赋予这些物理实体以语义，提供范畴和关系。它并不描述任何内在的品质，仅仅提供一种可能的阐释。
然而，这一切都不复存在了。数学一旦从物理实体分离出来，就不一致了，而一种形式理论如果不一致，就变得毫无意义。算术是经验主义的，仅此而已，引不起她的任何兴趣。
那么，现在她改行干什么呢？她知道曾经有个人放弃学术研究去卖手工皮革制品。她需要一段时间重新找回自我，而这正是卡尔一直努力帮助她做的。
8B
卡尔的朋友中有两个女人，马琳和安娜，她们俩也是知心好友。几年前，马琳曾经想自杀，她并没有寻求安娜的帮助，而是求助于卡尔。有几次，卡尔和马琳坐在一块儿，通宵达旦，或促膝谈心，或默默相视。卡尔知道安娜一直对他和马琳之间的心灵相通有一点儿嫉妒。他究竟有什么奥妙，能走进马琳的心灵，对此安娜一直感到纳闷。其实答案很简单。这就是同情与共鸣之间的差异。
卡尔一生不止一次在类似的情况下给予他人安慰。不用说，他为自己能够帮助他人感到高兴，但还不止这个。他觉得替别人设身处地，把自己当作另一个人，这种感觉很好。
迄今为止，他一直有理由认为富有同情心是他的本性。他珍视这一点，觉得自己如果不能与他人产生共鸣就一无是处。可是，现在他却遭遇到他前所未遇的事情，在这件事面前，他平时的本能不起任何作用了。
如果有人在雷内生日那天告诉他，两个月后他就会有这种感觉，那他只会一笑置之。当然，这种事情有可能会在几年后发生，卡尔知道时间的力量。可是两个月？
结婚六年后，卡尔对雷内的爱淡漠了。他憎恶自己有这个想法，但事实是她变了，现在他既不理解她，也不知道如何设身处地替她着想。雷内的理智和情感交织在一块，密不可分，因而她的情感也令他不可捉摸。
随之而起的是自我宽恕的条件反射。他这样想：你不可能要求别人在任何危机中都始终如一地支持你。如果一个人的妻子突然患了精神病，那么她丈夫离开她是一种罪恶，但却是情有可原的。厮守在妻子身边就意味着接受一种不同的关系，这种关系并不适合每一个人，所以卡尔绝不谴责这种处境下的任何人。然而，始终存在一个没有提出来的问题：我怎么办？而他的回答始终是：我要待下去。
伪君子。
最糟糕的是，他曾经也有过同样的遭遇。他曾经沉浸在自己的痛苦里，曾经折磨过别人的忍耐力，有人始终如一地呵护他。他离开雷内是不可避免的，但那将是一种他永远不可能宽恕的罪恶。
9
阿尔伯特·爱因斯坦曾经说过：“只要数学定理描述现实，它们就不是确定的；只要它们是确定的，就不描述现实。”
9A=9B
卡尔在厨房里剥豆子准备晚餐时，雷内走进来说：“可以和你谈一下吗？”
“没问题。”夫妻俩坐在餐桌旁。她故意眺望窗外；这是她即将开始严肃谈话时的习惯。他突然对她要说什么害怕起来。在她完全康复之前，他并不打算告诉她他要离开，而她康复还需要几个月的时间。现在还为时过早。
“我知道我们一直没有明说——”
别，他暗自祈祷，别说出来，请别说。
“——不过，有你守在我身边，我真的十分感激。”
一针见血，卡尔闭上眼睛。谢天谢地，雷内依然望着窗外。情况将变得非常非常糟糕。
她仍然在说，“一直萦绕在我脑际的东西——”她停顿了一下，“丝毫不像我所想象的一切。如果那是常见的抑郁，我知道你会理解的，而且我们可以对付。”
卡尔点了点头。
“可是，情况是这样的，我几乎像一个在证明上帝并不存在的神学家。我并不只是怀有这种担心，而是知道这是事实。这听起来很荒唐吗？”
“不。”
“我无法向你表达这种情感。这曾经是我深信不疑的东西，但现在它却不是真实的，而且还是我自己证明出来的。”
他张开嘴，想说他完全明白她的意思，他与她有同样的感受。但他没有说出来。因为这种感应将使他们分离，而不是凝聚在一起，所以他不能告诉她。
后记
有一个著名的公式：eπi+1=0。第一次意识到这个公式可以推导出什么来时，我吃惊得合不拢嘴。让我详细解释一下。
我们最推崇的是这样的小说结尾：出乎意料，却又无可避免。当然，我们也知道，所谓无可避免，其实并不真的是无可避免，只是由于作者的才能，我们才觉得这种结局无法避免。
再回头看上面那个公式。它才是真正的出乎意料。你很可能会无数次摆弄e、π和i的值，却意识不到其中的机关。在这种情况下，你就会觉得这个公式是无可避免的，它只能这样，这时你就会产生一种敬畏，好像你突然发现了一个绝对真理。
今后，也许会有人证明数学其实并不具备人们一直相信它具备的一致性，所谓数学的美只是虚幻。在我看来，世间再没有比这更煞风景的事了。
王荣生 译
伯特兰·罗素（1872-1970），英国哲学家、数学家、数理学家，获1950年诺贝尔文学奖。
阿尔弗雷德·怀特海（1861-1947），英国哲学家、数学家。
诺伊曼（1903-1957），美国数学家，对数学逻辑、离子物理以及高速计算机的发展均有贡献。
大卫·希尔伯特（1862-1943），德国数学家，发展了有关不变量的数学。
库尔特·哥德尔（1906-1978），生于奥地利的美国数学家、逻辑学家。
格哈德·根岑（1909-1945），德国数学家、逻辑学家。